（2006•临沂）如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图2，若P点为抛物

Question

（2006•临沂）如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连接PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．
①求证：PB=PS；
②判断△SBR的形状；
③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似？若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）方法一：
∵B点坐标为（0.2），
∴OB=2，
∵矩形CDEF面积为8，
∴CF=4．
∴C点坐标为（-2，2）．F点坐标为（2，2）．
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．
其过三点A（0，1），C（-2.2），F（2，2）．
得

1＝c

2＝4a−2b+c

2＝4a+2b+c

，
解这个方程组，得a=(1)/(4)，b=0，c=1，
∴此抛物线的解析式为y=(1)/(4)x²+1．（3分）
方法二：
∵B点坐标为（0.2），
∴OB=2，
∵矩形CDEF面积为8，
∴CF=4．
∴C点坐标为（-2，2），
根据题意可设抛物线解析式为y=ax²+c．
其过点A（0，1）和C（-2.2）

1＝c

2＝4a+c

解这个方程组，得a=(1)/(4)，c=1
此抛物线解析式为y=(1)/(4)x²+1．

（2）①证明：如图（2）过点B作BN⊥PS，垂足为N．
∵P点在抛物线y=(1)/(4)x²+1上．可设P点坐标为（a，(1)/(4)a²+1）．
∴PS=(1)/(4)a²+1，OB=NS=2，BN=-a．
∴PN=PS-NS=(1)/(4)a2−1，
在Rt△PNB中．
PB²=PN²+BN²=（(1)/(4)a²-1）²+a²=（(1)/(4)a²+1）²
∴PB=PS=(1)/(4)a2+1．（6分）
②根据①同理可知BQ=QR．

作业搜用户 2017-09-21