如图，抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（-1，0），B（5，-6），C（6，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？

Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（-1，0），B（5，-6），C（6，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个？并请求出其中某一个点Q的坐标．

Answer 1

（1）设y=a（x+1）（x-6）（a≠0），
把B（5，-6）代入：a（5+1）（5-6）=-6，
a=1，
∴y=（x+1）（x-6）=x²-5x-6；
（2）存在，
如图1，分别过P、B向x轴作垂线PM和BN，垂足分别为M、N，
设P（m，m²-5m-6），四边形PACB的面积为S，
则PM=-m²+5m+6，AM=m+1，MN=5-m，CN=6-5=1，BN=5，
∴S=S_△AMP+S_梯形PMNB+S_△BNC
=(1)/(2)（-m²+5m+6）（m+1）+(1)/(2)（6-m²+5m+6）（5-m）+(1)/(2)×1×6
=-3m²+12m+36
=-3（m-2）²+48，
当m=2时，S有最大值为48，这时m²-5m-6=2²-5×2-6=-12，
∴P（2，-12），
（3）这样的Q点一共有5个，连接Q₃A、Q₃B，
y=x²-5x-6=（x-(5)/(2)）²-(49)/(4)；
因为Q₃在对称轴上，所以设Q₃（(5)/(2)，y），
∵△Q₃AB是等腰三角形，且Q₃A=Q₃B，
由勾股定理得：（(5)/(2)+1）²+y²=（(5)/(2)-5）²+（y+6）²，
y=-(5)/(2)，
∴Q₃（(5)/(2)，-(5)/(2)）．