对于数集X={-1，x1，x2，…，xn}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定义向量的集合Y={a|a=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意a1∈Y，存在a2∈Y，使得al•a2=0，则称X具有性质P．例如{-1，1，2}具有性质P

Question

对于数集X={-1，x₁，x₂，…，x_n}，其中0＜x₁＜x₂＜…＜x_n，n≥2，定义向量的集合Y={

a

|

a

=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意

a

₁∈Y，存在

a

₂∈Y，使得

a

_l•

a

₂=0，则称X具有性质P．例如{-1，1，2}具有性质P．若X具有性质P，且x₁=1，x₂=q（q为常数），则有穷数列x₁，x₂，…，x_n的通项公式为（　　）

A．xi＝qi−1，i=1，2，…，n
B．xi＝1+(i−1)(q−1)i−1，i=1，2，…，n
C．x_i=1+（i-1）q，i=1，2，…，n
D．xi＝(q−2)/(2)i2+(4−q)/(2)i，i=1，2，…n

Answer 1

解法一：猜想：x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n
记A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}，k=2，3，…，n
先证明若A_k+1具有性质P，则A_k也具有性质P．
任取

a1

=（s，t），s、t∈A_k，当s、t中出现-1时，显然有

a2

满足

a1

•

a2

=0．
当s、t中都不是-1时，满足s≥1且t≥1．
∵A_k+1具有性质P，∴有

a2

=（s₁，t₁），s₁、t₁∈A_k+1，使得

a1

•

a2

=0．从而s₁、t₁其中有一个为-1．
不妨设s₁=-1，
假设t₁∈A_k+1，且t₁∉A_k，则t₁=x_k+1．由（s，t）（-1，x_k+1）=0，得s=tx_k+1≥x_k+1，与s∈A_k矛盾．
∴t₁∈A_k，从而A_k也具有性质P．
再用数学归纳法，证明x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n
当n=2时，结论显然成立；
假设当n=k时，A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}具有性质P，则x_i=q^i-1，i=1，2，…，k
当n=k+1时，若A_k+1═{-1，x₁，x₂，…，x_k+1}具有性质P，则A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}具有性质P，
∴A_k+1═{-1，q，q²，…，q^k-1，x_k+1}．
取

a1

=（x_k+1，q），并设

a2

=（s，t）∈Y，满足

a1

•

a2

=0．，由此可得s=-1或t=-1
若t=-1，则x_k+1=(q)/(s)＜q，不可能．
∴s=-1，x_k+1=qt=q^j≤q^k且x_k+1≥q^k-1，
因此x_k+1=q^k．
综上所述，x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n．
解法二：设

a1

=（s₁，t₁），

a2

=（s₂，t₂），则

a1

•

a2

=0等价于(s1)/(t1)＝−(t2)/(s2)．
记B={(s)/(t)|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称
注意到-1是集合X中唯一的负数，B∩（-∞，0）={-x₂，-x₃，-x₄，…，-x_n}，共有n-1个数．
所以B∩（0，+∞）也有n-1个数．
由于(xn)/(xn−1)＜(xn)/(xn−2)＜(xn)/(xn−3)＜…＜(xn)/(x2)＜(xn)/(x1)，已经有n-1个数
对以下三角形数阵：
(xn)/(xn−1)＜(xn)/(xn−2)＜(xn)/(xn−3)＜…＜(xn)/(x2)＜(xn)/(x1)，
(xn−1)/(xn−2)＜(xn−1)/(xn−3)＜…＜(xn−1)/(x1)，
                 …
(x3)/(x2)＜(x3)/(x1)，
(x2)/(x1)．
注意到(xn)/(x1)＞(xn−2)/(x1)＞…＞(x2)/(x1)，所以(xn)/(xn−1)＝(xn−1)/(xn−2)=…=(x2)/(x1)．
从而数列的通项公式是x_k=x₁•（(x2)/(x1)）^k-1=q^k-1，k=1，2，3，…，n．