1+3+7+13+21+.+n的和是什么?像这种差是等差数列的数列求和,怎么归纳出求和公式?通项公式还挺容易归纳的,就搞不清楚怎么求和.

Question

1+3+7+13+21+.+n的和是什么?
像这种差是等差数列的数列求和,怎么归纳出求和公式?
通项公式还挺容易归纳的,就搞不清楚怎么求和.

Answer 1

3-1=2
7-3=4
13-7=6
21-13=8
所以
a1=1
a2=a1+2*1
a3=a2+2*2
a4=a3+2*3
a5=a4+2*4
归纳得
an=a(n-1)+2*(n-1)
得an-a1=2*1+2*2+.+2*(n-1)=n(n-1)
an=n(n-1)+1=n^2-n+1
所以a1+a2+a3+.+an
=(n^2-n+1)+((n-1)^2-(n-1)+1)+.+3+1
=(n^2+(n-1)^2+.+1^2)-(n+(n-1)+.+1)+n
=1/6 n(n+1)(2n+1) -1/2 n(n+1) +n
=1/2 n(n+1) ((2n+1)/3 -1) +n
=1/2 n(n+1) *1/3 (2n-2) +n
=1/3 n(n+1) (n-1) +n
=1/3 n( n^2-1+3)
=1/3 n(n^2+2)