已知抛物线y=（m-1）x2+（m-2）x-1（m∈R）．（1）当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？（2）若关于x的方程（m-1）x2+（m-2）x-1=0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围；（3）

Question

已知抛物线y=（m-1）x²+（m-2）x-1（m∈R）．
（1）当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？
（2）若关于x的方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围；
（3）如果抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C点，且三角形ABC的面积等于2，试求m的值．

Answer 1

（1）由题意知，有

m−1≠0

△＝(m−2)2+4(m−1)＞0

，解得m²＞0且m≠1，
∴m的取值范围为{m|m≠0且m≠1}．             
（2）在（1）的条件下，设（m-1）x²+（m-2）x-1=0的两个不等实根为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=(m−2)/(1−m)，x₁x₂=(1)/(1−m)，∴(1)/(x1)+(1)/(x2)=(x1+x2)/(x1x2)=m-2
∴(1)/(x12)+(1)/(x22)=((1)/(x1)+(1)/(x2))2-(2)/(x1x2)=（m-2）²+2（m-1）≤2，即m²-2m≤0，
解得，0≤m≤2，
∴m的取值范围为{m|0＜m＜1或1＜m≤2}．
（3）由（2）知，A和B点的横坐标为：x₁、x₂，设点C的纵坐标为y_c，
把x=0代入解析式得，y_c=-1，
∵三角形ABC的面积等于2，∴(1)/(2)|x₁-x₂|•|y_c|=2，∴|x₁-x₂|=4，
∵x₁+x₂=(m−2)/(1−m)，x₁x₂=(1)/(1−m)，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16，即((m−2)/(1−m))