一次函数r（x）=ax+b的图象过原点，函数h（x）=lnx定义在（1，e）（e为自然对数的底）上．（Ⅰ）若f（x）=r（x）+h（x）有极值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）记函数g（x）=x3-x-2，x∈（1，e），

Question

一次函数r（x）=ax+b的图象过原点，函数h（x）=lnx定义在（1，e）（e为自然对数的底）上．
（Ⅰ）若f（x）=r（x）+h（x）有极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）记函数g（x）=x³-x-2，x∈（1，e），在（Ⅰ）的条件下，证明在函数f（x）图象上任取点A，总能在g（x）图象上找到相应的点B，使A、B连线平行于x轴．

Answer 1

（Ⅰ）∵r（x）=ax+b的图象过原点，
∴b=0，∴f（x）=ax+lnx．
求导可得f′(x)＝a+(1)/(x)，
令f′(x)＝a+(1)/(x)＝0，可得a＝−(1)/(x)．
∵x∈（1，e），∴−(1)/(x)∈(−1，−(1)/(e))，∴a∈(−1，−(1)/(e))．
当x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如下：

x	(1，−(1)/(a))	−(1)/(a)	(−(1)/(a)，e)
f'（x）	+	0	-
f（x）	单调递增	极大值	单调递减

∴实数a的取值范围是（-1，-(1)/(e)）
（II）由（I）知f（x）有极大值f（-(1)/(a)）=-1+ln（-(1)/(a)）
∵f（1）=a，f（e）=ae+1
∴-1＜(1)/(1−e)＜−(1)/(e)
当(1)/(1−e)＜a＜−(1)/(e)时，函数的值域是[a，-1+ln（-(1)/(a)）]
同理知g（x）在（1，e）上的值域是（-2，e³-e-2）
e³-e-2＞0，a∈(−1，−(1)/(e))，−1+ln(−(1)/(a))＜0，
所以e³-e-2＞−1+ln(−(1)/(a))，-2＜ae+1，-2＜a，
∴(ae+1， −1+ln(−(1)/(a))]⊆（-2，e³-e-2），(a， −1+ln(−(1)/(a))]⊆（-2，e³-e-2），
∴∀x₁∈（1，e），∃x₀∈（1，e），使得g（x₀）=f（x₁）成立．
∴在函数f（x）图象上任取点A，总能在g（x）图象上找到相应的点B，
使A、B连线平行于x轴．