对下列实对称矩阵A,求一个正交矩阵P,使P^-1AP=P^TAP=D为对角矩阵210131012

Question

对下列实对称矩阵A,求一个正交矩阵P,使P^-1AP=P^TAP=D为对角矩阵
2 1 0
1 3 1
0 1 2

Answer 1

|A-λE|=
2-λ 1 0
1 3-λ 1
0 1 2-λ
r1-r3
2-λ 0 λ-2
1 3-λ 1
0 1 2-λ
c3+c1
2-λ 0 0
1 3-λ 2
0 1 2-λ
= (2-λ)[(3-λ)(2-λ)-2]
= (2-λ)(λ^2-5λ+4)
= (2-λ)(1-λ)(4-λ)
所以A的特征值为1,2,4.
(A-E)x=0 的基础解系为:a1=(1,-1,1)^T
(A-2E)x=0 的基础解系为:a2=(1,0,-1)^T
(A-4E)x=0 的基础解系为:a3=(1,2,1)^T
单位化得:b1=(1/√3,-1/√3,1/√3)^T,b2=(1/√2,0,-1/√2)^T,b3=(1/√6,2/√6,1/√6)^T
令P=(b1,b2,b3),则P为正交矩阵,P^-1=P^T,且 P^=1AP=diag(1,2,4).