（1）证明：①Crn+Cr+1n=Cr+1n+1；②Cn+12n+2=2Cn2n+1（其中n，r∈N*，0≤r≤n-1）；（2）某个比赛的决赛在甲、乙两名运动员之间进行，比赛共设2n+1局，每局比赛甲获胜的概率均为p（p>12）

Question

（1）证明：①C

r

n

+C

r+1

n

=C

r+1

n+1

；②C

n+1

2n+2

=2C

n

2n+1

（其中n，r∈N^*，0≤r≤n-1）；
（2）某个比赛的决赛在甲、乙两名运动员之间进行，比赛共设2n+1局，每局比赛甲获胜的概率均为p（p>(1)/(2)），首先赢满n+1局者获胜（n∈N^*）．
①若n=2，求甲获胜的概率；
②证明：总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）．

Answer 1

（1）①C_n^r+C_n^r+1=(n!)/(r!(n-r)!)+(n!)/((r+1)!(n-r-1)!)=(n![(r+1)+(n-r)])/((r+1)!(n-r)!)=((n+1)!)/((r+1)![(n+1)-(r+1)]!)=C_n+1^r+1；
②由①得C_2n+2ⁿ⁺¹=C_2n+1ⁿ+C_2n+1ⁿ⁺¹=2C

n

2n+1

；
（2）①若n=2，甲获胜的概率P=p³+pC₃²p²（1-p）+pC₄²p²（1-p）²=p³（6p²-15p+10），
②证明：设乙每一局获胜的概率为q，则p+q=1，0<q<(1)/(2)．
记在甲最终获胜的概率为P_n，则P_n=pⁿ⁺¹+pC_n+1ⁿpⁿq+pC_n+2ⁿpⁿp²+…+pC_2nⁿpⁿqⁿ=pⁿ⁺¹（1+C_n+1ⁿq+C_n+2ⁿq²+…+C_2nⁿqⁿ），
∴P_n-P_n+1=pⁿ⁺¹（1+C_n+1ⁿq+C_n+2ⁿq²+…+C_2nⁿqⁿ）-pⁿ⁺²（1+C_n+2ⁿ⁺¹q+C_n+3ⁿ⁺¹q²+…+C_2n+2ⁿ⁺¹qⁿ⁺¹），
=pⁿ⁺¹[（1+C_n+1ⁿq+C_n+2ⁿq²+…+C_2nⁿqⁿ）-（1-q）（1+C_n+2ⁿ⁺¹q+C_n+3ⁿ⁺¹q²+…+C_2n+2ⁿ⁺¹qⁿ⁺¹）]，
=pⁿ⁺¹[（1+C_n+1ⁿq+C_n+2ⁿq²+…+C_2nⁿqⁿ）-（1+C_n+2ⁿ⁺¹q+C_n+3ⁿ⁺¹q²+…+C_2n+2ⁿ⁺¹qⁿ⁺¹）+q（1+C_n+2ⁿ⁺¹q+C_n+3ⁿ⁺¹q²+…+C_2n+2ⁿ⁺¹qⁿ⁺¹）]，
=pⁿ⁺¹[（1-1）+q（C_n+1ⁿ-C_n+2ⁿ⁺¹+1）+q²（C_n+2ⁿ-C_n+3ⁿ⁺¹+1）+…+qⁿ（C_2nⁿ-C_2n+1ⁿ⁺¹+C_2nⁿ⁺¹）-qⁿ⁺¹）（C_2n+2ⁿ⁺¹-C_2n+1ⁿ⁺¹+qⁿ⁺²C_2n+2ⁿ⁺¹]，
=pⁿ⁺¹[-qⁿ⁺¹）（C_2n+2ⁿ⁺¹-C_2n+1ⁿ⁺¹+qⁿ⁺²C_2n+2ⁿ⁺¹]，
=pⁿ⁺¹qⁿ⁺¹（qC_2n+2ⁿ⁺¹-C_2n+1ⁿ⁺¹）]，
=pⁿ⁺¹qⁿ⁺¹（2qC_2n+1ⁿ-C_2n+1ⁿ）]，
=pⁿ⁺¹qⁿ⁺¹C_2n+1ⁿ（2q-1）<0，
所以P_n<P_n+1，
即总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）．