1：证明如果复数a+ib是实系数方程a0zn+a1z（n—1）+.+a(n-1)z+a0=0的根,那么a-ib也是它的根.（其中那个方程的0是下角标,n和n-1是指数）谢谢!2：如果z=eit,证明,zn+1/zn=2cosnt.（其中n和it都是指数）谢谢!

Question

1：证明如果复数a+ib是实系数方程a0zn+a1z（n—1）+.+a(n-1)z+a0=0的根,那么a-ib也是它的根.（其中那个方程的0是下角标,n和n-1是指数）谢谢!
2：如果z=eit,证明,zn+1/zn=2cosnt.（其中n和it都是指数）谢谢!

Answer 1

1 首先注意 (a+ib)^n 和 (a-ib)^n 实部相等,虚部相反.那么如果z=a+ib,且a0zn+a1z（n—1）+.+a(n-1)z+a0 = 0 即虚实部都是0,换成z=a-ib,a0zn+a1z（n—1）+.+a(n-1)z+a0 实部不变,虚部变相反,仍然是0,所以a-ib也是根.
2 z^n = e^(nit)=cos(nt)+i sin(nt) 1/z^n = z^(-n)=e^(-nit)=cos(nt)-i sin(nt)
那么和是2cos(nt)