如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为直角三角形，∠ACB＝π2，顶点C1在底面△ABC内的射影是点B，且AC=BC=BC1=3，点T是平面ABC1内一点．（1）若T是△ABC1的重心，求直线A1T与平面ABC1所成角；（2

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如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为直角三角形，∠ACB＝

，顶点C₁在底面△ABC内的射影是点B，且AC=BC=BC₁=3，点T是平面ABC₁内一点．
（1）若T是△ABC₁的重心，求直线A₁T与平面ABC₁所成角；
（2）是否存在点T，使TB₁=TC且平面TA₁C₁⊥平面ACC₁A₁，若存在，求出线段TC的长度，若不存在，说明理由．

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答案和解析

如图以CB、CA分别为x，y轴，过C作直线Cz∥BC1，以Cz为z轴建立空间坐标系，
则B（3，0，0），C（0，0，0），A（0，3，3），C₁（3，0，3），
∵

CB1

CC1

=（6，0，3），
∴B₁（6，0，3），
∵

CA1

CC1

=（3，3，3），
∴A₁（3，3，3），
（1）∵T是△ABC₁重心，
∴T（2，1，1），
∴

TA1

=（1，2，2），
设面ABC₁的法向量为

=（x，y，z），
由