已知a＞0，b＞0，n＞1，n∈N*．用数学归纳法证明：an+bn2≥(a+b2)n．

Question

已知a＞0，b＞0，n＞1，n∈N^*．用数学归纳法证明：(an+bn)/(2)≥((a+b)/(2))n．

Answer 1

证明：（1）当n=2时，左边-右边=(a2+b2)/(2)−((a+b)/(2))2＝((a−b)/(2))2≥0，不等式成立．（2分）
（2）假设当n=k（k∈N^*，k＞1）时，不等式成立，即(ak+bk)/(2)≥((a+b)/(2))k．（4分）
因为a＞0，b＞0，k＞1，k∈N^*，
所以（a^k+1+b^k+1）-（a^kb+ab^k）=（a^k-b^k）（a-b）≥0，于是a^k+1+b^k+1≥a^kb+ab^k．（6分）
当n=k+1时，((a+b)/(2))k+1＝((a+b)/(2))k•(a+b)/(2)≤(ak+bk)/(2)•(a+b)/(2)＝(ak+1+bk+1+akb+abk)/(4)≤(ak+1+bk+1+ak+1+bk+1)/(4)＝(ak+1+bk+1)/(2)．
即当n=k+1时，不等式也成立．（9分）
综合（1），（2）知，对于a＞0，b＞0，n＞1，n∈N^*，不等式(an+bn)/(2)≥((a+b)/(2))n总成立．
（11分）