一个圆经过点P(2,-1)和直线X-Y=1相切,并且直线Y=-2X经过圆心,求它的标准方程

Question

一个圆经过点P(2,-1)和直线X-Y=1相切,并且直线Y=-2X经过圆心,求它的标准方程

Answer 1

设 圆心Q(K,-2K),
PQ^2=(K-2)^2+(-2K+1)^2=5K^2-8K+5,
Q到X-Y-1=0的距离：
d=|K+2K-1|/√2=|3K-1|/√2,
根据题意：PQ^2=d^2,
∴10K^2-16K+10=9K^2-6K+1
K^2-10K+9=0
K=1或9,
∴圆心坐标(1,-2)或(9,-18),
半径d=√2或13√2,
∴圆方程：(X-1)^2+(Y+2)^2=2或(X-9)^2+(Y+18)^2=338.