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假设由自动线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布N(μ,1),内径小于10或大于12的为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损,已知销售利润T(单
题目详情
假设由自动线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布N(μ,1),内径小于10或大于12的为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损,已知销售利润T(单位:元)与销售零件的内径X有如下关系:T=
,问平均内径μ取何值时,销售一个零件的平均利润最大?
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▼优质解答
答案和解析
根据题意,平均利润:
E(T)=-1×p(X<10)+20×p(10≤X≤12)-5×p(X>12)
=-Φ(
)+20[Φ(
)-Φ(
)]-5[1-Φ(
)]
=25Φ(12-μ)-21Φ(10-μ)-5
=-25φ(12-μ)+21φ(10-μ)
=21
e−
-25
e−
令:
=0;
即:21
e−
-25
e−
=0
即:e−
[(12−μ)2−(10−μ)2]=
两边取对数整理得:
2μ-22=ln(
)
即:μ=
ln
+11
显然当μ=
ln
+11取得极值,由因为μ=
ln
+11是唯一使导数等于0的点,根据实际问题可知:
当μ=
ln
+11时,利润取得最大值.
E(T)=-1×p(X<10)+20×p(10≤X≤12)-5×p(X>12)
=-Φ(
10−μ |
1 |
12−μ |
1 |
10−μ |
1 |
12−μ |
1 |
=25Φ(12-μ)-21Φ(10-μ)-5
dE(T) |
dμ |
=21
1 | ||
|
(10−μ)2 |
2 |
1 | ||
|
(12−μ)2 |
2 |
令:
dE(T) |
dμ |
即:21
1 | ||
|
(10−μ)2 |
2 |
1 | ||
|
(12−μ)2 |
2 |
即:e−
1 |
2 |
21 |
25 |
两边取对数整理得:
2μ-22=ln(
21 |
25 |
即:μ=
1 |
2 |
21 |
25 |
显然当μ=
1 |
2 |
21 |
25 |
1 |
2 |
21 |
25 |
当μ=
1 |
2 |
21 |
25 |
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