设随机变量X和Y对联和分布是正方形G={（x，y）|1≤x≤3，1≤y≤3}上的均匀分布，试求随机变量U=|X-Y|的概率密度ρ（u）．

Question

设随机变量X和Y对联和分布是正方形G={（x，y）|1≤x≤3，1≤y≤3}上的均匀分布，试求随机变量U=|X-Y|的概率密度ρ（u）．

Answer 1

【解法1】
由已知条件可得，X和Y的联合密度为：
f（x，y）=

(1)/(4)  1≤x≤3， 1≤y≤3

0   其他

，
设U=|X-Y|的分布函数为F（u），
①当u≤0时，F（u）=0，
②当u≥2时，F（u）=1，
③当0＜u＜2时，
F（u）=

∬

|x−y|≤u

f（x，y）dxdy=

∬

|x−y|≤u

(1)/(4)dxdy=(1)/(4)[4−(2−u)2]=1-(1)/(4)(2−u)2．
于是，随机变量U的概率密度为：
ρ（u）=F′（u）=

(1)/(2)(2−u)  0＜u＜2

0            其他

．

【解法2】
因为X和Y的联和分布是正方形G={（x，y）|1≤x≤3，1≤y≤3}上的均匀分布，
所以：-2≤x-y≤2，
即有：|x-y|≤2，
故当u＜0或者u＞2时，ρ（u）=0，
当0＜u＜2时，
ρ（u）=

∫

+∞ −∞

ρX(x)(ρY(u+x)+ρY(x−u))dx
=

∫

3−u 1

ρX(x)ρY(x+u)dx+

∫

3 u+1

ρX(x)ρY(x−u)
=(1)/(4)