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设随机变量X和Y对联和分布是正方形G={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布,试求随机变量U=|X-Y|的概率密度ρ(u).

题目详情
设随机变量X和Y对联和分布是正方形G={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布,试求随机变量U=|X-Y|的概率密度ρ(u).
▼优质解答
答案和解析

【解法1】
由已知条件可得,X和Y的联合密度为:
f(x,y)=
1
4
  1≤x≤3, 1≤y≤3
0   其他

设U=|X-Y|的分布函数为F(u),
①当u≤0时,F(u)=0,
②当u≥2时,F(u)=1,
③当0<u<2时,
F(u)=
|x−y|≤u
f(x,y)dxdy=
|x−y|≤u
1
4
dxdy=
1
4
[4−(2−u)2]=1-
1
4
(2−u)2.
于是,随机变量U的概率密度为:
ρ(u)=F′(u)=
1
2
(2−u)  0<u<2
0            其他


【解法2】
因为X和Y的联和分布是正方形G={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布,
所以:-2≤x-y≤2,
即有:|x-y|≤2,
故当u<0或者u>2时,ρ(u)=0,
当0<u<2时,
ρ(u)=
+∞
−∞
ρX(x)(ρY(u+x)+ρY(x−u))dx
=
3−u
1
ρX(x)ρY(x+u)dx+
3
u+1
ρX(x)ρY(x−u)
=
1
4