是否存在常数a,b,c,使得1^2+2^2+……+n^2=an^3+bn^2+cn对一切正整数n都成立?用数学归纳法证明

Question

是否存在常数a,b,c,使得1^2+2^2+……+n^2=an^3+bn^2+cn对一切正整数n都成立?用数学归纳法证明

Answer 1

存在a=1/3,b=1/2,c=1/6
用数学归纳法
当n=1时
1^2=1=1/3+1/2+1/6
假设当n=k时,1^2+2^2+……+k^2=1/3k^3+1/2k^2+1/6k成立
n=k+1时
1^2+2^2+……+k^2+(k+1)^2
=1/3k^3+1/2k^2+1/6k+k^2+2k+1
=1/3(k+1)^3+1/2(k+1)^2+1/6(k+1)
因此,1^2+2^2+……+n^2=1/3n^3+1/2n^2+1/6n对一切正整数n都成立
如果认为讲解不够清楚,