施瓦茨不等式不用数学归纳法如何证明?我看到一种证明施瓦茨不等式的方法是构造了如下的方程(x1z-y1)^2+(x2z-y2)^2+...+(xnz-yn)^2=0z是未知数,其他的是参数.可是为什么上述方程的解z的个数只有一

Question

施瓦茨不等式不用数学归纳法如何证明?
我看到一种证明施瓦茨不等式的方法是构造了如下的方程
(x1z-y1)^2+(x2z-y2)^2+...+(xnz-yn)^2=0
z是未知数,其他的是参数.可是为什么上述方程的解z的个数只有一个,假如为唯一解,那不就是说明了y1/x1=y2/x2=...=yn/xn了吗?这显然不是恒成立的.

Answer 1

提到的方法是Δ法,不是数学归纳法
证明的不等式是柯西不等式,不是施瓦茨不等式
柯西不等式(x1^2+x2^2+……+xn^2)(y1^2+y2^2+……+yn^2)≥(x1y1+x2y2+……+xnyn)^2
证明1：设A=x1^2+x2^2+……+xn^2,B=y1^2+y2^2+……+yn^2,C=x1y1+x2y2+……+xnyn
你构造的方程左边每一项都是平方大于等于0,右边等于0
则若该方程有解,则每一个括号里的式子应为0,否则无解
即你构造的方程有且仅有一个解或无解
展开你构造的方程得Az^2-2Cz+B=0,它的Δ=4C^2-4AB≤0
即为A*B≥C^2,得证.
你提到的y1/x1=y2/x2=...=yn/xn是满足等号的条件
证明2：构造向量A=(x1,x2,……,xn),B=(y1,y2,……,yn)
由AB=x1y1+x2y2+……+xnyn=|A||B|cos
(AB)^2=(|A||B|cos)^2≤|A|^2|B|^2=(x1^2+x2^2+……+xn^2)(y1^2+y2^2+……+yn^2)
施瓦茨不等式是柯西不等式的积分形式
[∫(a,b)f(x)g(x)dx]^2≤[∫(a,b)f^2(x)dx]*[∫(a,b)g^2(x)dx]
证明可以将b换成变量后求微分,或者不等式左边换成二重积分都可以