cos(x-y)=cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y),哎,大三了,这些都忘光了.

Question

cos(x-y)=cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y),哎,大三了,这些都忘光了.

Answer 1

在直角坐标系xoy中,作单位圆O,
并作角α,β,-β,α+β
Ox交⊙O于P1,α终边交⊙O于P2；
α+β终边交⊙O于P3；
角-β终边交⊙O于P4.
依三角函数的定义,
得P1、P2、P3、P4的坐标分别为
P1（1,0）,P2（cosα,sinα）、
P3（cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)).
连接P1P3,P2P4. 
则∣P1P3∣=∣P2P4∣.依两点间距离公式,得
∣P1P3|²=[cos(α+β)-1]²+[sin(α+β)-0]²
∣P2P4|²=[cos(-β)-cosα]²+[sin(-β)-sinα]²
∴[cos(α+β)-1]²+sin²(α+β)=[cosβ-cosα]²+[sinβ+sinα]²
展开整理,得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ   ----------------    Cα+β
.该公式对任意角α,β均成立
在公式Cα+β中,用-β替代β.
cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ……Cα-β.该公式对任意角α,β均成立.
 
公式还可以用向量证明的,传一个几何画板课件你可以看看