大一的有关极限的问题,就比方说limX趋于1但是如果后面的式子是1/1-x或者2/1-x^2分母趋于0了怎么办?还有就是比方分母直接是X或者X的几次方但是趋于0上面是三角函数,这一类怎么处理?求

Question

大一的有关极限的问题,
就比方说lim X趋于1 但是如果后面的式子是1/1-x 或者2/1-x^2 分母趋于0了怎么办?还有就是比方分母直接是X 或者X的几次方 但是趋于0 上面是三角函数,这一类怎么处理?
求方法.有没有什么通式解法的

Answer 1

你好!
分母趋于零,那就想办法约去零因式
例：lim(x→1) [ 1/(1-x) - 2/(1-x²) ]
= lim(x→1) (1+x-2) / (1-x²) 【通分】
= lim(x→1) (x-1) / (1+x)(1-x)
= lim(x→1) - 1/(1+x) 【约去零因式】
= - 1/2
有三角函数的,可以利用重要极限 lim(x→0) sinx / x = 1
例：lim(x→1) (1-x) tan ( π/2 x)
令 u = 1-x ,则 u→0
原式 = lim(u→0) u tan [π/2 (1-u) ]
= lim(u→0) u tan (π/2 - π/2 u )
= lim(u→0) u cot ( π/2 u)
= lim(u→0) u * cos(π/2 u) / sin (π/2 u)
= lim(u→0) (π/2 u) / sin(π/2 u) * 2/π * cos(π/2 u)
= 2/π
别看写了挺多,其实思路很简单,就是凑出重要极限 sinx / x 的形式