如果一个正方形的四个点都在三角形的三边上，则该正方形是该三角形的内接正方形，那么面积为4的锐角△ABC的内接正方形面积的最大值为．

Question

如果一个正方形的四个点都在三角形的三边上，则该正方形是该三角形的内接正方形，那么面积为4的锐角△ABC的内接正方形面积的最大值为______．

Answer 1

如图，作AN⊥BC于N交GF与M，
∵四边形GDEF是正方形
∴GF=GD=MN，GF∥BC
∴△AGF∽△ABC
∴(AM)/(AN)=(GF)/(BC)．
设正方形的边长为x．
∴(h−x)/(h)=(x)/(a)
解得x=(ah)/(a+h)．
由于三角形的面积为4，∴ah=8，
∴x=(ah)/(a+h)=(8)/(a+h)≤(8)/(2√(ah))=√(2)，当且仅当a=h时取等号，
∴△ABC的内接正方形面积的最大值为√(2)2=2．
故答案为：2．