如果一个正方形的四个顶点都在三角形的三条边上，称该正方形是该三角形的内接正方形，若锐角△ABC的面积为S，求其内接正方形面积的最大值，并求此时正方形的边长．

Question

如果一个正方形的四个顶点都在三角形的三条边上，称该正方形是该三角形的内接正方形，若锐角△ABC的面积为S，求其内接正方形面积的最大值，并求此时正方形的边长．

Answer 1

如图所示，
过点A作AN⊥BC交GD于点M．
设AN=h，正方形DCEF的边长CD=x，BC=a．
∵DC∥BC，则(h−x)/(h)＝(x)/(a)，解得x=(ah)/(h+a)，
而S=(1)/(2)ah，∴a＝(2S)/(h)，代入上式可得x＝(2S)/(h+(2S)/(h))，
∴x≤(2S)/(2√(2S))=(√(2S))/(2)，
∴正方形DCEF的面积=x²≤(1)/(2)S．当且仅当h=√(2S)时取等号．