2008浙江高考数学19题（19）（本题14分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是2/5；从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是7/9.

Question

2008浙江高考数学19题
（19）（本题14分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是2/5 ；从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是 7/9.
（Ⅰ）若袋中共有10个球,
（i）求白球的个数；
（ii）从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为 ,求随机变量 .
（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球,至少得到1个黑球的概率不大于7/10 .并指出袋中哪种颜色的球个数最少.
（Ⅱ）证明：设袋中有n个球,其中y个黑球,由题意得：y=（2/5）n
所以2y＜n,2y≤n-1,故y/n-1≤1/2
记“从袋中任意摸出两个球,至少有1个黑球”为事件B,则
P（B）=2/5+（3/5）*y/（n-1）≤2/5+3/5*1/2=7/10
所以白球的个数比黑球多,白球个数多于（2/5）n,红球个数少于n/5
故袋中红球个数最少
请重点解释P（B）=2/5+（3/5）*y/（n-1）
为什么这个概率可以这样列式
2/5表示什么,（3/5）*y/（n-1）又表示什么

Answer 1

从袋中任意摸出2个球,可理解为分两次摸球,每次摸1个.
2/5是第1次摸到黑球的概率（题中条件）,
（3/5）*y/（n-1）是第1次摸到白球,第2次摸到黑球的概率,
因为第1次摸到黑球的概率是2/5,
所以第1次摸到白球的概率是3/5,
在第1次摸到白球的条件下,第2次摸球时还有n-1个球,
其中黑球有y个,
所以第2次摸到黑球的概率是y/（n-1）,
所以第1次摸到白球,第2次摸到黑球的概率是（3/5）*y/（n-1）,
由于“第1次摸到黑球”与“第1次摸到白球,第2次摸到黑球”是互斥事件,
所以P（B）=2/5+（3/5）*y/（n-1）