高二的曲线基本题已知两点P(-2,0)、Q(0,1)及椭圆x^2+y^2/4=1,过点P作斜率为k的直线l交椭圆于A,B两点,设线段AB中点M,连接QM,问k为何值时,直线QM过椭圆的顶点

Question

高二的曲线基本题
已知两点P(-2,0)、Q(0,1)及椭圆x^2+y^2/4=1,过点P作斜率为k的直线l交椭圆于A,B两点,设线段AB中点M,连接QM,问k为何值时,直线QM过椭圆的顶点

Answer 1

当k=0时,M就是O点,符合题意
当k不等于0时,则AB的方程为y=k（x+2）
代入椭圆方程得到x^2(4+k^2)+4x*k^2+4k^2-4=0
判别式Δ=16k^4-16(4+k^2)(k^2-1)>0
所以k^2<4/3
设A（x1,y1）B（x2,y2）
则M（（x1+x2）/2,(y1+y2)/2）
根据方程得x1+x2=-4k^2/(4+k^2)
而y1+y2=k(x1+2)+k(x2+2)=k(x1+x2+4)=16k/(4+k^2)
所以M（-2k^2/(4+k^2),8k/(4+k^2)）
这理你画画图就知道,由于Q的位置决定了这种情况下只可能过顶点C（1,0）
现在问题就转化成CQM三点共线求k了.
CQ的方程为x+y=1,将M的坐标代入得到一个关于k的方程：3k^2-8k+4=0
所以k=2/3,k=2应该舍去,因为k^2<4/3
综上所述k=0或2/3