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高二的曲线基本题已知两点P(-2,0)、Q(0,1)及椭圆x^2+y^2/4=1,过点P作斜率为k的直线l交椭圆于A,B两点,设线段AB中点M,连接QM,问k为何值时,直线QM过椭圆的顶点
题目详情
高二的曲线基本题
已知两点P(-2,0)、Q(0,1)及椭圆x^2+y^2/4=1,过点P作斜率为k的直线l交椭圆于A,B两点,设线段AB中点M,连接QM,问k为何值时,直线QM过椭圆的顶点
已知两点P(-2,0)、Q(0,1)及椭圆x^2+y^2/4=1,过点P作斜率为k的直线l交椭圆于A,B两点,设线段AB中点M,连接QM,问k为何值时,直线QM过椭圆的顶点
▼优质解答
答案和解析
当k=0时,M就是O点,符合题意
当k不等于0时,则AB的方程为y=k(x+2)
代入椭圆方程得到x^2(4+k^2)+4x*k^2+4k^2-4=0
判别式Δ=16k^4-16(4+k^2)(k^2-1)>0
所以k^2<4/3
设A(x1,y1)B(x2,y2)
则M((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
根据方程得x1+x2=-4k^2/(4+k^2)
而y1+y2=k(x1+2)+k(x2+2)=k(x1+x2+4)=16k/(4+k^2)
所以M(-2k^2/(4+k^2),8k/(4+k^2))
这理你画画图就知道,由于Q的位置决定了这种情况下只可能过顶点C(1,0)
现在问题就转化成CQM三点共线求k了.
CQ的方程为x+y=1,将M的坐标代入得到一个关于k的方程:3k^2-8k+4=0
所以k=2/3,k=2应该舍去,因为k^2<4/3
综上所述k=0或2/3
当k不等于0时,则AB的方程为y=k(x+2)
代入椭圆方程得到x^2(4+k^2)+4x*k^2+4k^2-4=0
判别式Δ=16k^4-16(4+k^2)(k^2-1)>0
所以k^2<4/3
设A(x1,y1)B(x2,y2)
则M((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
根据方程得x1+x2=-4k^2/(4+k^2)
而y1+y2=k(x1+2)+k(x2+2)=k(x1+x2+4)=16k/(4+k^2)
所以M(-2k^2/(4+k^2),8k/(4+k^2))
这理你画画图就知道,由于Q的位置决定了这种情况下只可能过顶点C(1,0)
现在问题就转化成CQM三点共线求k了.
CQ的方程为x+y=1,将M的坐标代入得到一个关于k的方程:3k^2-8k+4=0
所以k=2/3,k=2应该舍去,因为k^2<4/3
综上所述k=0或2/3
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