高等数学答案小船从河边点o处出发驶向对岸，两岸平行，设船速为a，船行方向始终与河岸垂直，设河宽为h,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比，比例系数为k,求小船的

Question

高等数学答案
小船从河边点o处出发驶向对岸，两岸平行，设船速为a，船行方向始终与河岸垂直，设河宽为h,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比，比例系数为k,求小船的航行路线？

Answer 1

如图，曲线为小船的轨迹

设小船从O点出发，当小船移动到如图位置的时候：

因为关系式dy/dx=切线的斜率，而斜率就是合速度的斜率

所以，通过水流速度v水=ky(h-y),小船速度=a，则合速度的斜率=小船速度/水流速度=a/(ky(h-y))

所以轨迹方程为dy/dx=a/(ky(h-y))

因为这个微分方程不好解，故取倒数dx/dy=ky(h-y)/a

解微分方程得x=(k(3h - 2y)y^2)/(6a)

所以轨迹方程为 k(3h-2y)y^2-6ax=0