高等微积分题目求助求下列极限：lim(x^2+y^2)e^(-x-y)x,y->+∞答案确实是0做法不知道

Question

高等微积分题目求助
求下列极限：
lim(x^2+y^2)e^(-x-y)
x,y->+∞
答案确实是0
做法不知道

Answer 1

二重极限确实不好求,但有些题可化为用极坐标形式来求,比如本题,令 x=rcost,y=rsint
则
lim(x^2+y^2)e^(-x-y)
x,y->+∞
＝lim r^2×e^(-r(cost+sint))
r->+∞
＝lim 2r/(e^(r(cost+sint))(cost+sint))
r->+∞ (洛必达法则)
＝lim 2/(e^(r(cost+sint))(cost+sint)^2)
r->+∞
因x,y->+∞,故sint+cost不＝0
所以上式＝0