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y=ln(x+√(1+x^2))的三阶导数,用笨办法根本无法做下去,求正解
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y=ln(x+√(1+x^2))的三阶导数,用笨办法根本无法做下去,求正解
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答案和解析
y'=1/(x+√(1+x^2))*(x+√(1+x^2))'
=1/(x+√(1+x^2))*(1+x/√(1+x^2))
=1/√(1+x^2)
记√(1+x^2)=r,r'=x/√(1+x^2)=x/r
y'=1/r
y''=-1/r^2*r'=-x/r^3
y'''=-(r^3-x*3r^2*r')/r^6=(-r^3+x^2*3r)/r^6=(-r^2+3x^2)/r^5
=(-1-x^2+3x^2)/(1+x^2)^(5/2)
=(2x^2-1)/(1+x^2)^(5/2)
=1/(x+√(1+x^2))*(1+x/√(1+x^2))
=1/√(1+x^2)
记√(1+x^2)=r,r'=x/√(1+x^2)=x/r
y'=1/r
y''=-1/r^2*r'=-x/r^3
y'''=-(r^3-x*3r^2*r')/r^6=(-r^3+x^2*3r)/r^6=(-r^2+3x^2)/r^5
=(-1-x^2+3x^2)/(1+x^2)^(5/2)
=(2x^2-1)/(1+x^2)^(5/2)
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