急微积分设函数f(x)在x=0的某邻域内连续,且满足limf(x)/x(1-cosx)=-1,x→0证明x=0是驻点不是极值点

Question

急 微积分
设函数f(x)在x=0的某邻域内连续,且满足lim f(x)/x(1-cosx)=-1,
x→0
证明x=0是驻点不是极值点

Answer 1

1-cosx与x^2/2是等价无穷小（x→0 ）
因此根据题意有lim 2f(x)/x^3=-1,
x→0
（以下极限过程x→0省去 ）
由于limx^3=0,所以limf(x)=0
因为函数f(x)在x=0的某邻域内连续
所以f(0)=0
lim 2f(x)/x^3=lim 2(f(x)-f(0))/（x-0）x^2=-1
由于limx^2=0,所以lim(f(x)-f(0))/（x-0）=0
即f'(0)存在并且等于0,这就证明了x=0是驻点
lim 2(f(x)-f(0))/（x-0）x^2
=lim2[(f(x)-f(0))/（x-0）-f'(0)]/(x-0)x
由于limx=0,所以lim[(f(x)-f(0))/（x-0）-f'(0)]/(x-0)=0
即f''(0)存在并且等于0
继续以上步骤可知f'''(0)存在并且等于-1/2
根据极值判别定理可知
x=0不是极值点