袋中有n张卡片,分别记有号码1,2,3,……n,从中有放回地抽取k张,以x表示所得号码之和,求x的期望和方差.现身吧,救我!

Question

袋中有n张卡片,分别记有号码1,2,3,……n,从中有放回地抽取k张,以x表示所得号码之和,求x的期望和方差.
现身吧,救我!

Answer 1

设Xi为第i次取卡片
P(Xi=k)=1/n (k=1,2,3,...,n)
E(Xi)=(1+2+3+...+n)*1/n=(1+n)n/2*1/n=(1+n)/2
E(Xi²)=(1²+2²+...+n²)*1/n=n(n+1)(2n+1)/6*1/n=(n+1)(2n+1)/6
D(Xi)=E(Xi²)-[E(Xi)]²=(n²-1)/12
E(X)=kE(Xi)=k(1+n)/2
D(X)=kD(Xi)=k(n²-1)/12