设X1，X2，…，Xn（n＞2）为来自总体N（0，σ2）的简单随机样本，.X为样本均值，记Yi=Xi-.X，i=1，2，…，n．求：（Ⅰ）Yi的方差DYi，i=1，2，…，n；（Ⅱ）Y1与Yn的协方差Cov（Y1，Yn）．（Ⅲ）

Question

设X₁，X₂，…，X_n（n＞2）为来自总体N（0，σ²）的简单随机样本，

.

X

为样本均值，记Y_i=X_i-

.

X

，i=1，2，…，n．
求：
（Ⅰ） Y_i的方差DY_i，i=1，2，…，n；
（Ⅱ）Y₁与Y_n的协方差Cov（Y₁，Y_n）．
（Ⅲ）若c(Y1+Yn)2是σ²的无偏估计量，求常数c．

Answer 1

由题设，知：X₁，X₂，…，X_n（n＞2）相互独立，
且：EXi＝0，DXi＝σ2(i＝1，2，…，n)，E

.

X

＝0，

（I）
由方差的性质可得：
DYi＝D(Xi−

.

X

)＝D[(1−(1)/(n))Xi−(1)/(n)

n

j≠i

Xj]=(1−(1)/(n))2DXi+(1)/(n2)

n

j≠i

DXj
=((n−1)2)/(n2)σ2+(1)/(n2)•(n−1)σ2＝(n−1)/(n)σ2．

（II）
由协方差的计算公式以及数学期望的性质可得，
 Cov（Y₁，Y_n）=E[（Y₁-EY₁）（Y_n-EY_n）]=E(Y1Yn)＝E[(X1−

.

X

)(Xn−

.

X

)]
=E(X1Xn−X1

.

X

−Xn

.

X

+

.

X

2)=E(X1Xn)−2E(X1

.

X

)+E

.

X

2
=0−(2)/(n)E[

X

2 1

+

n

j＝2

X1Xj]+D

.

X

+(E

.

X

)2
=−(2)/(n)σ2+(1)/(n)σ2＝−(1)/(n)σ2．

（III）
由无偏估计的定义可得：
E[c(Y1+Yn)2]＝cD(Y1+Yn)=c[DY₁+DY₂+2Cov（Y₁，Y_n）]=c[(n−1)/(n)+(n−1)/(n)−(2)/(n)]σ2＝(2(n−2))/(n)cσ2＝σ2，
故：c＝(n)/(2(n−2))．