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已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,若对于任意的实数x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2011)+f(2012)的值为()A.-1B.-2C.2D.1
题目详情
已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,若对于任意的实数x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2011)+f(2012)的值为( )
A. -1
B. -2
C. 2
D. 1
A. -1
B. -2
C. 2
D. 1
▼优质解答
答案和解析
∵对于任意的实数x≥0,都有f(x+2)=f(x),
∴函数在[0,+∞)内的一个周期T=2,
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(-2011)+f(2012)=-f(2011)+f(2012)
=-f(2011)+f(2012)
=-f(1)+f(0)
又当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),
∴f(1)=log2(1+1)=1
f(0)log2(0+1)=0
因此f(-2011)+f(2012)
=-f(1)+f(0)
=-1+0
=-1.
故选A.
∴函数在[0,+∞)内的一个周期T=2,
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(-2011)+f(2012)=-f(2011)+f(2012)
=-f(2011)+f(2012)
=-f(1)+f(0)
又当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),
∴f(1)=log2(1+1)=1
f(0)log2(0+1)=0
因此f(-2011)+f(2012)
=-f(1)+f(0)
=-1+0
=-1.
故选A.
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