已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=x+mx2+nx+1．（1）求m，n的值；（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上为增函数；（3）若f（x）≤a3对x∈[−13，13]恒成立，求a的取值范围．

Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=(x+m)/(x2+nx+1)．
（1）求m，n的值；
（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上为增函数；
（3）若f（x）≤(a)/(3)对x∈[−(1)/(3)，(1)/(3)]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

∵x∈R，f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，
得m=0
（1）因f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=(x+m)/(x2+nx+1)．
所以f（-1）=-f（1），
解得n=0，
∴m=n=0
（2）任取-1＜x₁＜x₂＜1，f(x1)−f(x2)＝(x1)/(x12+1)−(x2)/(x22+1)
=(x1(x22+1)−x2(x12+1))/((x12+1)(x22+1))=((x1x22−x2x12)+(x1−x2))/((x12+1)(x22+1))=((x1−x2)+(1−x1x2))/((x12+1)(x22+1))
∵-1＜x₁＜1，-1＜x₂＜1
∴-1＜x₁x₂＜1∴1-x₁x₂＞0
又x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）（8分）
∴f（x）在（-1，1）上单调递增
（3）∵∴f（x）在[-(1)/(3)，(1)/(3)]上的最大值为f（(1)/(3)）=(3)/(10)，
∴(a)/(3)≥(3)/(10)，
∴a≥(9)/(10)．