已知函数f（x）=ln（ex+1）-ax（a＞0），（Ⅰ）若函数y=f（x）的导函数是奇函数，求a的值；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．

Question

已知函数f（x）=ln（e^x+1）-ax（a＞0），
（Ⅰ）若函数y=f（x）的导函数是奇函数，求a的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．

Answer 1

（1）由已知得f′(x)＝(ex)/(ex+1)−a．
∵函数y=f（x）的导函数是奇函数．
∴f′（-x）=-f′（x），即(e−x)/(e−x+1)−a＝−(ex)/(ex+1)+a
解得a＝(1)/(2)．
故f′(x)＝(ex)/(ex+1)−(1)/(2)＝(1)/(2)−(1)/(ex+1)，
（2）由（1）f′(x)＝(ex)/(ex+1)−a＝1−(1)/(ex+1)−a．
①当a≥1时，f′（x）＜0恒成立，
∴当a≥1时，函数y=f（x）在R上单调递减；
②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0得（1-a）（e^x+1）＞1，
即ex＞−1+(1)/(1−a)，解得x＞ln(a)/(1−a)，
∴当0＜a＜1时，综上可知，当a≥1时，函数y=f（x）在R上单调递减；
当0＜a＜1时，函数y=f（x）在(ln(a)/(1−a)，+∞)内单调递增，
在(−∞，ln(a)/(1−a))内单调递减．