已知函数f(x)=2^x+a×2^（-x）是定义域为R的奇函数（1）求实数a的值（2）证明f（x）是R上的单调函数（3）若对于任意的t∈R,不等式f（t^2-2t)+f(t^2-k)>0恒成立,求k的取值范围.

Question

已知函数f(x)=2^x+a×2^（-x）是定义域为R的奇函数
（1）求实数a的值
（2）证明f（x）是R上的单调函数
（3）若对于任意的t∈R,不等式f（t^2-2t)+f(t^2-k)>0恒成立,求k的取值范围.

Answer 1

答：
f(x)=2^x+a*2^(-x)
=2^x+a/2^x
1）
f(x)是定义域为R的奇函数,则有：
f(0)=1+a=0
解得：a=-1
2）
f(x)=2^x-2^(-x)
求导：f'(x)=(2^x)ln2+2^(-x)ln2>0
所以：f(x)是R上的单调递增函数
3）
任意实数t,f(t^2-2t)+f(t^2-k)>0恒成立
所以：
f(t^2-2t)>-f(t^2-k)=f(k-t^2)
因为：f(x)是单调递增函数
所以：
t^2-2t>k-t^2
k<2t^2-2t
当t=1/2时2t^2-2t取得最小值-1/2
所以：k

作业帮用户 2017-10-28