当f(x)为奇函数时,∫(a,-a)f(x)dx=0如何求证偶函数又怎么证

Question

当f(x)为奇函数时,∫(a,-a)f(x)dx=0
如何求证
偶函数又怎么证

Answer 1

∫[a,-a]f(x)dx
=∫[a,0]f(x)dx+∫[-a,0]f(x)dx
对∫[-a,0]f(x)dx作代换t=-x
=∫[a,0]f(x)dx+∫[a,0]f(-t)dt
=∫[a,0]f(x)dx+∫[a,0](-f(t))dt
=0
偶函数
∫[a,-a]f(x)dx
=∫[a,0]f(x)dx+∫[-a,0]f(x)dx
对∫[-a,0]f(x)dx作代换t=-x
=∫[a,0]f(x)dx+∫[a,0]f(-t)dt
=∫[a,0]f(x)dx+∫[a,0]f(t)dt
=2∫[a,0]f(x)dx