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已知函数f(x+2/1)为奇函数,设g(x)=f(x)+1,则g(1/2012)+g(2/2012)+.+g(2011/2012)=答案是2011.
题目详情
已知函数f(x+2/1)为奇函数,设g(x)=f(x)+1,则g(1/2012)+g(2/2012)+.+g(2011/2012)=____
答案是2011.
答案是2011.
▼优质解答
答案和解析
因为,f(x+1/2)为奇函数
所以,f(-x+1/2)=-f(x+1/2)
f(1/2012)=f(-1005/2012+1/2)=-f(1005/2012+1/2)=-f(2011/2012)
f(2/2012)=f(-1004/2012+1/2)=-f(1004/2012+1/2)=-f(2010/2012)
……
f(1005/2012)=f(-1/2012+1/2)=-f(1/2012+1/2)=-f(1007/2012)
而,f(1006/2012)=f(0+1/2)=-f(0+1/2)=-f(1006/2012)
即,f(1006/2012)=f(1/2)=0
所以,f(1/2012)+f(2/2012)+.+f(2011/2012)=0
g(x)=f(x)+1
g(1/2012)+g(2/2012)+.+g(2011/2012)
=f(1/2012)+f(2/2012)+.+f(2011/2012)+2011
=0+2011
=2011
所以,f(-x+1/2)=-f(x+1/2)
f(1/2012)=f(-1005/2012+1/2)=-f(1005/2012+1/2)=-f(2011/2012)
f(2/2012)=f(-1004/2012+1/2)=-f(1004/2012+1/2)=-f(2010/2012)
……
f(1005/2012)=f(-1/2012+1/2)=-f(1/2012+1/2)=-f(1007/2012)
而,f(1006/2012)=f(0+1/2)=-f(0+1/2)=-f(1006/2012)
即,f(1006/2012)=f(1/2)=0
所以,f(1/2012)+f(2/2012)+.+f(2011/2012)=0
g(x)=f(x)+1
g(1/2012)+g(2/2012)+.+g(2011/2012)
=f(1/2012)+f(2/2012)+.+f(2011/2012)+2011
=0+2011
=2011
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