若在给定的直线y=x-3上任取一点P,从点P向圆M：x²+(y-2)²=8引一条切线,切点为Q,问:是否存在一个定点T,恒有PT=PQ?若存在,求出点T的坐标；若不存在,说明理由.

Question

若在给定的直线y=x-3上任取一点P,从点P向圆M：x²+(y-2)²=8引一条切线,切点为Q,问:是否存在一个定点T,恒有PT=PQ?若存在,求出点T的坐标；若不存在,说明理由.

Answer 1

显然M(0,2),令P(t,t-3)
连接MQ、MP,显然MQ^2=8
则由两点间距离公式有MP=t^2+(t-5)^2
由勾股定理有PQ^2=MP^2-MQ^2=t^2+(t-5)^2-8
若存在一定点T使得PT=PQ
则T点必在以P为圆心、半径为PQ的圆P上
显然圆P的方程为(x-t)^2+(y-t+3)^2=t^2+(t-5)^2-8
整理得(x^2+y^2+6y)-[(x+y)/2]*4t=8-4t
用待定系数法令x^2+y^2+6y=8,(x+y)/2=1
解得x=1,y=1
或得x=4,y=-2
综上知,满足条件的T存在,其坐标为(1,1)或(4,-2)