给定一个圆和它的内部一点M,考虑所有可能的矩形MKTP,它的顶点K和P位于圆上,求点T轨迹.如题

Question

给定一个圆和它的内部一点M,考虑所有可能的矩形MKTP,它的顶点K和P位于圆上,求点T轨迹.如题

Answer 1

设M(a,b),圆方程为x^2+y^2=r^2,此时r^2>a^2+b^2.又设P(m,n),Q(p,q),T(x,y).由MKTP是矩形可得 (x+a)/2=(m+p)/2 .(1) (y+b)/2=(n+q)/2 .(2) (x-a)^2+(y-b)^2=(m-p)^2+(n-q)^2 .(3) (1)^2+(2)^2,注意到m^2+n^2=r^2和p^2+q^2=r^2,得 (x+a)^2+(y+b)^2=2r^2+2mp+2nq .(4) 由(3),得 (x-a)^2+(y-b)^2=2r^2-2mp-2nq .(5) 由(4)+(5),得 x^2+y^2=2r^2-(a^2+b^2) (其中,r>根(a^2+b^2)) 故所求的T点轨迹是以原点为圆心,根[2r^2-(a^2+b^2)]为半径的圆.