将2,3,4,5,…,107,108按某种顺序排成数列,a1,a2,…,a107,使a2能被2整,a3能被3整除,a4能被4整除,……,a107能被107整除,这样的数列有多少种排法?

Question

将2,3,4,5,…,107,108按某种顺序排成数列,a1,a2,…,a107,使a2能被2整
,a3能被3整除,a4能被4整除,……,a107能被107整除,这样的数列有多少种排法?

Answer 1

本质是排列组合的问题,就是2-108这107个数和a1-a107这107个位置,哪些数能放到哪些位置里的问题.要求放在ak的数能被k整除,即k是放在ak的数的因数,即放在ak的数是k的倍数.
1.首先,55-107都必须一一对应的放在a55-a107,因为,以55为例,如果55不放在a55,那么放在a55的数要是55的倍数,a55的最小倍数即乘以2即110已经超出108了,那么a55这个位置就找不到数放了,所以55必须放在a55,56-107同理.
2.那么现在剩下2-54及108这54个数,和a1-a54这54个位置,怎么对应放的问题.同1.的思路,28-53都必须一一对应的放在a28-a53里,因为,以28为例,如果28不放在a28,则a28要放28的倍数,在题目范围以内的,28两倍是56,三倍是84,先不说已经超出2.的范围（2-54,108）,即便不考虑2.的范围,56,84已经被固定了,原因见1..
3.那么现在剩下2-27及54及108这28个数,和a1-a27及a54这28个位置,怎么对应放的问题.相同的思路,14-26都必须一一对应的放在a14-a26.
4.那么现在剩下2-13及27及54及108这15个数,和a1-a13及a27及a54这15个位置的对应问题.相同思路,7-13和a7-a13一一对应.
5.那么现在剩下2-6及27及54及108这8个数,和a1-a6及a27及a54这8个位置的对应问题.相应的4-6和a4-a6一一对应.
6.现在是这个问题的真正面貌了,问你2、3、27、54、108和a1、a2、a3、a27、a54对应放,要求ak能被k整除,有几种方法.从位置下标的入手当然简单,a54只能放54和108即只有两种放法,a27可以放27、54、108,a3可以放3、27、54、108,a2可以放2、54、108,a1可以放全部.然后列个树状图（按下标倒序比较简单）,可以知道有10种.
所以,综上所述,这样的数列有10种排法.
PS：个人思路,纯手打,