已知a为常数，a∈R，函数f（x）=x2+ax-lnx，g（x）=ex．（其中e是自然对数的底数）（Ⅰ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点为P（x0，y0），求证：x0=1；（Ⅱ）令F(x)＝f(x)g(x)，若函数F（x

Question

已知a为常数，a∈R，函数f（x）=x²+ax-lnx，g（x）=e^x．（其中e是自然对数的底数）
（Ⅰ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点为P（x₀，y₀），求证：x₀=1；
（Ⅱ）令F(x)＝(f(x))/(g(x))，若函数F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

（I）f′(x)＝2x+a−(1)/(x)（x＞0）．  …（2分）
过切点P（x₀，y₀）的切线的斜率k＝2x0+a−(1)/(x0)＝(y0)/(x0)=(x02+ax0−lnx0)/(x0)
整理得x02+lnx0−1＝0．…（4分）
显然，x₀=1是这个方程的解，又因为y=x²+lnx-1在（0，+∞）上是增函数，
所以方程x²+lnx-1=0有唯一实数解．故x₀=1．…（6分）
（Ⅱ）F(x)＝(f(x))/(g(x))＝(x2+ax−lnx)/(ex)，F′(x)＝(−x2+(2−a)x+a−(1)/(x)+lnx)/(ex)．…（8分）
设h(x)＝−x2+(2−a)x+a−(1)/(x)+lnx，则h′(x)＝−2x+(1)/(x2)+(1)/(x)+2−a．
易知h'（x）在（0，1]上是减函数，从而h'（x）≥h'（1）=2-a．   …（10分）
（1）当2-a≥0，即a≤2时，h'（x）≥0，h（x）在区间（0，1）上是增函数．
∵h（1）=0，∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，即F'（x）≤0在（0，1]上恒成立．
∴F（x）在区间（0，1]上是减函数．
所以，a≤2满足题意．            …（12分）
（2）当2-a＜0，即a＞2时，设函数h'（x）的唯一零点为x₀，
则h（x）在（0，x₀）上递增，在（x₀，1）上递减．又∵h（1）=0，∴h（x₀）＞0．
又∵h（e^-a）=-e^-2a+（2-a）e^-a+a-e^a+lne^-a＜0，
∴h（x）在（0，1）内有唯一一个零点x'，
当x∈（0，x'）时，h（x）＜0，当x∈（x'，1）时，h（x）＞0．
从而F（x）在（0，x'）递减，在（x'，1）递增，与在区间（0，1]上是单调函数矛盾．
∴a＞2不合题意．
综合（1）（2）得，a≤2．           …（15分）