已知a为常数，函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜-12B．f（x1）＜0，f（x2）＞-12C．f（x1）＞0，f（x2）＜-12D．f（x1）＞0，f（x2）＞-12

Question

已知a为常数，函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），则（　　）

A．f（x₁ ）＜0，f（x₂）＜-(1)/(2)
B．f（x₁ ）＜0，f（x₂）＞-(1)/(2)
C．f（x₁ ）＞0，f（x₂）＜-(1)/(2)
D．f（x₁ ）＞0，f（x₂）＞-(1)/(2)

Answer 1

∵函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点x₁，x₂，（x₁＜x₂）
当a=0时，f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1=0，
解得x=(1)/(e)，∴f（(1)/(e)）=-(1)/(e)；
当a≠0时，f（x）=xlnx-ax²，f′（x）=lnx-2ax+1=0，
a=(lnx+1)/(2x)，
设a（x）=(1nx+1)/(2x)，
令a′（x）=-(2lnx)/(4x2)，x=1，
当0＜x＜1时，a′（x）＞0，当x＞1时，a′（x）＜0，
∴a（x）在x=1处取极大值(1)/(2)，
又∵x→+∞时，a（x）→0
∴当0＜a＜(1)/(2)时，f′（x）=lnx-2ax+1=0必存在二个解
即函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值x₁，x₂，（x₁＜x₂），
当0＜x＜x₁或x＞x₂时，f′（x）＜0，当x₁＜x＜x₂时，f′（x）＞0，
函数f（x）在x₁处取极小值，在x₂处取极大值，
又∵当a=(1)/(2)时，f′（x）=lnx-x+1=0，∴x=1，f（1）=-(1)/(2)，
当a=0时，f（x）在x=(1)/(e)处取极小值f（(1)/(e)）=-(1)/(e)．
∴函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）时，f（x₁）＜0，f（x₂）＞-(1)/(2)．
故选：B．