已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，E（1，32）是C上的一点．F为C的右焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点A的直线l与椭圆C的另一个交点为P（不同于A、B），与椭圆在点B处

Question

已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，E（1，(3)/(2)）是C上的一点．F为C的右焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点A的直线l与椭圆C的另一个交点为P（不同于A、B），与椭圆在点B处的切线交于点D．当直线l绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

Answer 1

（1）由题意，设椭圆的方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)，则a=2
∴(x2)/(4)+(y2)/(b2)＝1
∵E（1，(3)/(2)）是C上的一点
∴(1)/(4)+((9)/(4))/(b2)＝1
∴b²=3
∴(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1；
（2）以BD为直径的圆与直线PF相切．
证明如下：由题意可设直线l的方程为y=k（x+2）（k≠0），
则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）．
将直线方程代入椭圆方程可得得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0．
设点P的坐标为（x₀，y₀），则-2x₀=(16k2−12)/(3+4k2)
∴x₀=(6−8k2)/(3+4k2)，y₀=k（x₀+2）=(12k)/(3+4k2)
因为点F坐标为（1，0），
当k=±(1)/(2)时，点P的坐标为（1，±(3)/(2)）），点D的坐标为（2，±2），
直线PF⊥x轴，此时以BD为直径的圆（x-2）²+（y∓1）²=1与直线PF相切．
当k≠±(1)/(2)时，则直线PF的斜率k_PF=(y0)/(x0−1)=(4k)/(1−4k2)
所以直线PF的方程为y＝(4k)/(1−4k2)(x−1)，属于点E到直线PF的距离d=2|k|
又因为|BD|=4|k|，所以d=

作业帮用户 2017-09-24

问题解析

（1）假设椭圆的标准方程，利用A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，E（1，(3)/(2)）是C上的一点，即可求椭圆C的标准方程；
（2）先设出直线l的方程，根据题意，表示出D、E的坐标，从而求出以BD为直径的圆的圆心和半径，再将l的方程与椭圆方程联立，得到交点A、P的坐标关系，因为A点的坐标已知，从而求出点P的坐标，然后分直线PF斜率存在和不存在两种情况讨论直线PF与以BD为直径的圆的位置关系即可．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

考点点评：

本题考查椭圆的性质及标准方程、考查直线与椭圆的位置关系及直线与圆的位置关系，考查方程思想、分类讨论、数形结合等数学思想，同时考查了学生的基本运算能力与运算技巧．

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