已知函数f（x）=（3x+1）ex+1+mx（m≥-4e），若有且仅有两个整数使得f（x）≤0，则实数m的取值范围是（）A.（5e，2]B.[-52e，-83e2）C.[-12，-83e2）D.[-4e，-52e）

Question

已知函数f（x）=（3x+1）e^x+1+mx（m≥-4e），若有且仅有两个整数使得f（x）≤0，则实数m的取值范围是（　　）

A. （

(5)/(e)，2]

B. [-

(5)/(2e)，-(8)/(3e2)）

C. [-

(1)/(2)，-(8)/(3e2)）

D. [-4e，-

(5)/(2e)）

Answer 1

由f（x）≤0得（3x+1）e^x+1+mx≤0，
即mx≤-（3x+1）e^x+1，
设g（x）=mx，h（x）=-（3x+1）e^x+1，
h′（x）=-（3e^x+1+（3x+1）e^x+1）=-（3x+4）e^x+1，
由h′（x）>0得-（3x+4）>0，即x<-(4)/(3)，
由h′（x）<0得-（3x+4）<0，即x>-(4)/(3)，
即当x=-(4)/(3)时，函数h（x）取得极大值，
当m≥0时，满足g（x）≤h（x）的整数解超过2个，不满足条件．
当m<0时，要使g（x）≤h（x）的整数解只有2个，
则满足

h(-2)≥g(-2)

h(-3)<g(-3)

，即

5e-1≥-2m

8e-2<-3m

，
即

m≥-(5)/(2e)

m<-(8)/(3e2)

，即-(5)/(2e)≤m<-(8)/(3e2)，
即实数m的取值范围是[-(5)/(2e)，-(8)/(3e2)），
故选：B