已知函数f（x）=|x-a|-9x+a，x∈[1，6]，a∈R．当a∈（1，3）时，求证：函数f（x）存在反函数．

Question

已知函数f（x）=|x-a|-(9)/(x)+a，x∈[1，6]，a∈R．当a∈（1，3）时，求证：函数f（x）存在反函数．

Answer 1

证明：∵当x∈[1，6]，且a∈（1，3）时，
函数f（x）=|x-a|-(9)/(x)+a=

−x−(9)/(x)+2a，1≤x＜a

x−(9)/(x)，     a≤x≤6

，
∴当1≤x＜a＜3时，f′（x）=-1+(9)/(x2)＞0，
∴f（x）是增函数；
当a≤x≤6时，f′（x）=1+(9)/(x2)＞0，
∴f（x）是增函数；
∴函数f（x）在[1，a）和[a，6]上存在反函数，
即f（x）在[1，6]上在存在反函数．