设函数f（x）=ax-（k-1）a-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求k值；（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x2+tx）+f（4-x）＜0恒成立的t的取值范围；（3）若f（1）=32，

Question

设函数f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k值；
（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0恒成立的t的取值范围；
（3）若f（1）=(3)/(2)，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

Answer 1

（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，…（2分）
∴1-（k-1）=0，∴k=2．…（4分）
（2）∵函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），
∵f（1）＜0，∴a-(1)/(a)＜0，又 a＞0，
∴1＞a＞0．…（6分）
由于y=a^x单调递减，y=a^-x单调递增，故f（x）在R上单调递减．
不等式化为f（x²+tx）＜f（x-4）．
∴x²+tx＞x-4，即  x²+（t-1）x+4＞0 恒成立，…（8分）
∴△=（t-1）²-16＜0，解得-3＜t＜5．…（10分）
（3）∵f（1）=(3)/(2)，a-(1)/(a)=(3)/(2)，即2a²-3a-2=0，∴a=2，或 a=-(1)/(2)（舍去）．…（12分）
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．
令t=f（x）=2^x-2^-x，由（1）可知k=2，故f（x）=2^x-2^-x ，显然是增函数．
∵x≥1，∴t≥f（1）=(3)/(2)，
令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²　（t≥(3)/(2)）…（15分）
若m≥(3)/(2)，当t=m时，h（t）_min=2-m²=-2，∴m=2…（16分）
若m＜(3)/(2)，当t=(3)/(2)时，h（t）_min=(17)/(4)-3m=-2，解得m=(25)/(12)＞(3)/(2)，舍去…（17分）
综上可知m=2．…（18分）