已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=n−g(x)m+2g(x)是奇函数．（1）确定y=g（x）的解析式；（2）求m，n的值；（3）若对任意的t∈R，不等式f（2t-3t2）+f（t2-k）＞0恒成立

Question

已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=(n−g(x))/(m+2g(x))是奇函数．
（1）确定y=g（x）的解析式；
（2）求m，n的值；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（2t-3t²）+f（t²-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）∵y=g（x）是指数函数，
∴设g（x）=a^x（a＞0，且a≠1），
∵g（3）=8，
∴a³=8，解得a=2，
故g（x）=2^x；
（2）∵f（x）=(n−g(x))/(m+2g(x))，且g（x）=2^x，
∴f（x）=(n−2x)/(m+2x+1)，
∵f（x）=(n−2x)/(m+2x+1)是奇函数，
∴f（0）=0，即(n−1)/(2+m)＝0，解得n=1，
∴f（x）=(1−2x)/(m+2x+1)，
又∵f（-1）=-f（1），
∴(1−(1)/(2))/(m+1)＝(1−2)/(4+m)，解得m=2，
故m=2，n=1；    　　　　　　           
（3）由（2）知，f（x）=(1−2x)/(2+2x+1)=-(1)/(2)+(1)/(2x+1)，
∵y=2^x+1在R上单调递增，则y=(1)/(2x+1)在R上单调递减，
∴f（x）=-(1)/(2)+(1)/(2x+1)在R上单调递减，
∵不等式f（2t-3t²）+f（t²-k）＞0，
∴f（2t-3t²）＞-f（t²-k），
又∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（2t-3t²）＞f（k-t²），
又f（x）是R上的单调递减函数，
∴f（2t-3t²）+f（t²-k）＞0对任意的t∈R恒成立，转化为2t-3t²＜k-t²对任意的t∈R恒成立，
∴2t²-2t+k＞0对任意的t∈R恒成立，
∴△=（-2）²-4×2×k＜0，解得k＞(1)/(2)，
故实数k的取值范围为k＞(1)/(2)．