设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，且g（x）＞0．利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点ξ∈[a，b]，使∫baf(x)g(x)dx＝f(ξ)∫bag(x)dx．

Question

设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，且g（x）＞0．利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点ξ∈[a，b]，使 

∫

b a

f(x)g(x)dx＝f(ξ)

∫

b a

g(x)dx．

Answer 1

证明：∵f（x）在[a，b]上连续
∴由闭区间上的最值定理，∃m，M，使得
m≤f（x）≤M
而在[a，b]上，g（x）＞0
∴mg（x）≤f（x）g（x）≤Mg（x）
∴

∫

b a

mg(x)dx≤

∫

b a

f(x)g(x)dx≤

∫

b a

Mg(x)dx
∴m≤(∫baf(x)g(x)dx)/(∫bag(x)dx)≤M
这说明，确定的数值(∫baf(x)g(x)dx)/(∫bag(x)dx)是介于函数f（x）的最小值m和最大值M之间的
∴由闭区间上连续函数的介值定理，至少存在一点ξ∈[a，b]，使得
(∫baf(x)g(x)dx)/(∫bag(x)dx)＝f(ξ)
即：
存在一点ξ∈[a，b]，使 

∫

b a

f(x)g(x)dx＝f(ξ)

∫

b a

g(x)dx．
得证．