已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD：AB=时

Question

已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB=______时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠D=90°，
又∵M是AD的中点，
∴AM=DM．
在△ABM和△DCM中，

AB＝CD

∠A＝∠D

AM＝DM

，
∴△ABM≌△DCM（SAS）．

（2）四边形MENF是菱形．
证明如下：
∵E，F，N分别是BM，CM，CB的中点，
∴NE∥MF，NE=MF．
∴四边形MENF是平行四边形．
由（1），得BM=CM，∴ME=MF．
∴四边形MENF是菱形．

（3）2：1．　
当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形．理由：
∵M为AD中点，
∴AD=2AM．
∵AD：AB=2：1，
∴AM=AB．
∵∠A=90，
∴∠ABM=∠AMB=45°．
同理∠DMC=45°，
∴∠EMF=180°-45°-45°=90°．
∵四边形MENF是菱形，
∴菱形MENF是正方形．

AB＝CD

∠A＝∠D

AM＝DM

AB＝CD

∠A＝∠D

AM＝DM

AB＝CD

∠A＝∠D

AM＝DM

AB＝CD

∠A＝∠D

AM＝DM

AB＝CDAB＝CDAB＝CD∠A＝∠D∠A＝∠D∠A＝∠DAM＝DMAM＝DMAM＝DM，
∴△ABM≌△DCM（SAS）．

（2）四边形MENF是菱形．
证明如下：
∵E，F，N分别是BM，CM，CB的中点，
∴NE∥MF，NE=MF．
∴四边形MENF是平行四边形．
由（1），得BM=CM，∴ME=MF．
∴四边形MENF是菱形．

（3）2：1．　
当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形．理由：
∵M为AD中点，
∴AD=2AM．
∵AD：AB=2：1，
∴AM=AB．
∵∠A=90，
∴∠ABM=∠AMB=45°．
同理∠DMC=45°，
∴∠EMF=180°-45°-45°=90°．
∵四边形MENF是菱形，
∴菱形MENF是正方形．