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操作:在△ABC中,AC=BC=2,∠C=90°,将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将三角板绕点P旋转,三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点.如图①、②、③是旋转三角板得
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操作:在△ABC中,AC=BC=2,∠C=90°,将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将三角板绕点P旋转,三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点.如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况,研究:
(1)三角板绕点P旋转,观察线段PD与PE之间有什么数量关系?并结合图②说明理由.
(2)观察图②与图③,请写出这两个图中的CD、CE与CB之间有什么数量关系?(直接写出答案,不必证明)图②中CD、CE与CB的数量关系:______;图③中CD、CE与CB的数量关系:______.
(3)三角板绕点P旋转,△PBE是否能成为等腰三角形?若能,指出所有情况(即写出△PBE为等腰三角形时CE的长);若不能,请说明理由.


(1)三角板绕点P旋转,观察线段PD与PE之间有什么数量关系?并结合图②说明理由.
(2)观察图②与图③,请写出这两个图中的CD、CE与CB之间有什么数量关系?(直接写出答案,不必证明)图②中CD、CE与CB的数量关系:______;图③中CD、CE与CB的数量关系:______.
(3)三角板绕点P旋转,△PBE是否能成为等腰三角形?若能,指出所有情况(即写出△PBE为等腰三角形时CE的长);若不能,请说明理由.


▼优质解答
答案和解析
(1)连接PC.
∵△ABC是等腰直角三角形,P是AB的中点,
∴CP=PB,CP⊥AB,∠ACP=
∠ACB=45°.
∴∠ACP=∠B=45°.
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°,
∴∠DPC=∠BPE.
在△PCD和△PBE中,
∴△PCD≌△PBE(ASA),
∴PD=PE;
(2)观察图②与图③,请写出这两个图中的CD、CE与CB之间有什么数量关系?图②中CD、CE与CB的数量关系:CD+CE=CB;
图③中CD、CE与CB的数量关系:CD+BE=CE,
故答案为:CD+BE=CE,CD+BE=CE;
(3)共有四种情况:
①当点C与点E重合,即CE=0时,PE=PB;
②CE=2-
,此时PB=BE;
③当CE=1时,此时PE=BE;
④当E在CB的延长线上,且CE=2+
时,此时PB=EB.
1 1 12 2 2∠ACB=45°.
∴∠ACP=∠B=45°.
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°,
∴∠DPC=∠BPE.
在△PCD和△PBE中,
∴△PCD≌△PBE(ASA),
∴PD=PE;
(2)观察图②与图③,请写出这两个图中的CD、CE与CB之间有什么数量关系?图②中CD、CE与CB的数量关系:CD+CE=CB;
图③中CD、CE与CB的数量关系:CD+BE=CE,
故答案为:CD+BE=CE,CD+BE=CE;
(3)共有四种情况:
①当点C与点E重合,即CE=0时,PE=PB;
②CE=2-
,此时PB=BE;
③当CE=1时,此时PE=BE;
④当E在CB的延长线上,且CE=2+
时,此时PB=EB.
∠DPC=∠BPE ∠DPC=∠BPE ∠DPC=∠BPEPC=PB PC=PB PC=PB∠PCD=∠B ∠PCD=∠B ∠PCD=∠B
∴△PCD≌△PBE(ASA),
∴PD=PE;
(2)观察图②与图③,请写出这两个图中的CD、CE与CB之间有什么数量关系?图②中CD、CE与CB的数量关系:CD+CE=CB;
图③中CD、CE与CB的数量关系:CD+BE=CE,
故答案为:CD+BE=CE,CD+BE=CE;
(3)共有四种情况:
①当点C与点E重合,即CE=0时,PE=PB;
②CE=2-
,此时PB=BE;
③当CE=1时,此时PE=BE;
④当E在CB的延长线上,且CE=2+
时,此时PB=EB.
2 2 2,此时PB=BE;
③当CE=1时,此时PE=BE;
④当E在CB的延长线上,且CE=2+
时,此时PB=EB.
2 2 2时,此时PB=EB.
∵△ABC是等腰直角三角形,P是AB的中点,

∴CP=PB,CP⊥AB,∠ACP=
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∴∠ACP=∠B=45°.
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°,
∴∠DPC=∠BPE.
在△PCD和△PBE中,
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∴△PCD≌△PBE(ASA),
∴PD=PE;
(2)观察图②与图③,请写出这两个图中的CD、CE与CB之间有什么数量关系?图②中CD、CE与CB的数量关系:CD+CE=CB;
图③中CD、CE与CB的数量关系:CD+BE=CE,
故答案为:CD+BE=CE,CD+BE=CE;
(3)共有四种情况:
①当点C与点E重合,即CE=0时,PE=PB;
②CE=2-
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③当CE=1时,此时PE=BE;
④当E在CB的延长线上,且CE=2+
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∴∠ACP=∠B=45°.
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°,
∴∠DPC=∠BPE.
在△PCD和△PBE中,
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∴△PCD≌△PBE(ASA),
∴PD=PE;
(2)观察图②与图③,请写出这两个图中的CD、CE与CB之间有什么数量关系?图②中CD、CE与CB的数量关系:CD+CE=CB;
图③中CD、CE与CB的数量关系:CD+BE=CE,
故答案为:CD+BE=CE,CD+BE=CE;
(3)共有四种情况:
①当点C与点E重合,即CE=0时,PE=PB;
②CE=2-
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③当CE=1时,此时PE=BE;
④当E在CB的延长线上,且CE=2+
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∠DPC=∠BPE |
PC=PB |
∠PCD=∠B |
∠DPC=∠BPE |
PC=PB |
∠PCD=∠B |
∠DPC=∠BPE |
PC=PB |
∠PCD=∠B |
∴△PCD≌△PBE(ASA),
∴PD=PE;
(2)观察图②与图③,请写出这两个图中的CD、CE与CB之间有什么数量关系?图②中CD、CE与CB的数量关系:CD+CE=CB;
图③中CD、CE与CB的数量关系:CD+BE=CE,
故答案为:CD+BE=CE,CD+BE=CE;
(3)共有四种情况:
①当点C与点E重合,即CE=0时,PE=PB;
②CE=2-
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③当CE=1时,此时PE=BE;
④当E在CB的延长线上,且CE=2+
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③当CE=1时,此时PE=BE;
④当E在CB的延长线上,且CE=2+
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