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如图,以AB为直径的⊙O经过点P,C是⊙O上一点,连接PC交AB于点E,且∠ACP=60°,PA=PD.(1)试判断PD与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若BC:AC=1:2,求AE:EB:BD的值(请你直接写出结果)
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(1)试判断PD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若
![]() |
BC |
![]() |
AC |
(3)若点C是弧AB的中点,已知AB=4,求CE•CP的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)PD与⊙O相切.理由如下:
连接OP,
∵∠ACP=60°,
∴∠AOP=120°,
而OA=OP,
∴∠PAO=∠APO=30°,
∵PA=PD,
∴∠D=∠PAD=30°,
∴∠APD=180°-30°-30°=120°,
∴∠OPD=120°-30°=90°,
∵OP为半径,
∴PD是⊙O的切线;
(2)连BC,
∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,
∵
:
=1:2,
∴∠ABC=2∠BAC,
∴∠BAC=30°,∠ABC=60°,
而∠PAE=30°,
∴∠APE=∠DPE=60°,
∴AE垂直平分PC,如图,
设BE=x,在Rt△BCE中,∠BCE=30°,则BC=2BE=2x,
在Rt△ABC中,∠CAB=30°,AB=2BC=4x,
∴AE=AB-BE=3x,
∵PA=PD,PE⊥AD,
∴AE=DE,
∴DB=3x-x=2x,
∴AE:EB:BD的值为3:1:2;
(3)如图,连接OC,
∵弧AC=弧BC,CO⊥AD,
∴∠CAB=∠APC,OC⊥AB,
而∠ACE=∠PCA,
∴△ACE∽△PCA,
∴
=
,即AC2=PC•CE,
∵A02+OC2=AC2=8,
∴PC•CE=AC2=8.

连接OP,
∵∠ACP=60°,
∴∠AOP=120°,
而OA=OP,
∴∠PAO=∠APO=30°,
∵PA=PD,
∴∠D=∠PAD=30°,
∴∠APD=180°-30°-30°=120°,
∴∠OPD=120°-30°=90°,
∵OP为半径,
∴PD是⊙O的切线;
(2)连BC,

∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,
∵
![]() |
BC |
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AC |
∴∠ABC=2∠BAC,
∴∠BAC=30°,∠ABC=60°,
而∠PAE=30°,
∴∠APE=∠DPE=60°,
∴AE垂直平分PC,如图,
设BE=x,在Rt△BCE中,∠BCE=30°,则BC=2BE=2x,
在Rt△ABC中,∠CAB=30°,AB=2BC=4x,
∴AE=AB-BE=3x,
∵PA=PD,PE⊥AD,

∴AE=DE,
∴DB=3x-x=2x,
∴AE:EB:BD的值为3:1:2;
(3)如图,连接OC,
∵弧AC=弧BC,CO⊥AD,
∴∠CAB=∠APC,OC⊥AB,
而∠ACE=∠PCA,
∴△ACE∽△PCA,
∴
AC |
PC |
CE |
AC |
∵A02+OC2=AC2=8,
∴PC•CE=AC2=8.
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