如图1，已知线段BC=2，点B关于直线AC的对称点是点D，点E为射线CA上一点，且ED=BD，连接DE，BE．（1）依题意补全图1，并证明：△BDE为等边三角形；（2）若∠ACB=45°，点C关于直线BD的对称点为

Question

如图1，已知线段BC=2，点B关于直线AC的对称点是点D，点E为射线CA上一点，且ED=BD，连接DE，BE．
（1）依题意补全图1，并证明：△BDE为等边三角形；
（2）若∠ACB=45°，点C关于直线BD的对称点为点F，连接FD、FB．将△CDE绕点D    顺时针旋转α度（0°<α<360°）得到△C′DE′，点E的对应点为E′，点C的对应点为点C′．
①如图2，当α=30°时，连接BC′．证明：EF=BC′；
②如图3，点M为DC中点，点P为线段C′E′上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM长度的取值范围？

Answer 1

（1）补全图形，如图1所示； 
证明：由题意可知：射线CA垂直平分BD，
∴EB=ED，
又∵ED=BD，
∴EB=ED=BD，
∴△EBD是等边三角形；
（2）①证明：如图2：由题意可知∠BCD=90°，BC=DC
又∵点C与点F关于BD对称，
∴四边形BCDF为正方形，
∴∠FDC=90°，CD=FD，
∵∠CDC′=α=30°，
∴∠FDC′=60°，
由（1）△BDE为等边三角形，
∴∠EDB=∠FDC′=60°，ED=BD，
∴∠EDF=∠BDC′，
又∵△E′DC′是由△EDC旋转得到的，
∴C′D=CD=FD，
∴△EDF≌△DBC′（SAS），
∴EF=BC′；
②线段PM的取值范围是：√(2)-1≤PM≤2√(2)+1．
设射线CA交BD于点O，
I：如图3（1）
当E′C′⊥DC，MP⊥E′C′，D、M、P、C共线时，PM有最小值．
此时DP=DO=√(2)，DM=1，
∴PM=DP-DM=√(2)-1，
II：如图3（2），
当点P与点E′重合，且P、D、M、C共线时，PM有最大值．
此时DP=DE′=DE=DB=2√(2)，DM=1，
∴PM=DP+DM=2√(2)+1，
∴线段PM的取值范围是：√(2)-1≤PM≤2√(2)+1．