(14分)如图所示,质量为m,边长为l的正方形平板与弹簧相连,弹簧的劲度系数为k,另一端固定于地面,平板处于平衡状态。质量为m的第一个小球从平台
( 14 分)如图所示,质量为 m ,边长为 l 的正方形平板与弹簧相连,弹簧的劲度系数为 k ,另一端固定于地面,平板处于平衡状态。质量为 m 的第一个小球从平台以一定速度垂直于平板的左边缘水平抛出,并与平板发生完全非弹性碰撞 ( 设平台与板间高度差为 h ,抛出点在平板的左边缘正上方 ) 。隔一段时间后,以相同速度抛出第二个小球。(假定在任何情况下平板始终保持水平,忽略平板在水平方向上的运动,且为方便计算起见,设 h =3 )
( 1 )求第一个小球落到平台上形成的振子系统的周期和频率;
( 2 )为了使第二个小球与平板不发生碰撞,其抛出速度的最小值为多少 ?
( 3 )在( 2 )的情况下,两小球抛出的时间差是多少 ?
解析 :
( 1 )碰撞前后小球与平板(总质量为 2m 一起在新的平衡位置上下做简谐振动,如图中虚线所示,振子系统的周期为 ( 1 分 )
振子系统的频率为 (式中 ω 为角频率) ( 1 分 )
( 2 )碰撞前,第一个小球在竖直方向的速度为 ( 1 分 )
发生完全弹性碰撞,竖直方向有近似动量守恒 ( 1 分 )
则碰撞后平板运动的速度为 ( 1 分 )
振子振幅为 ( 1 分 )
旋转参考矢量与 y 轴负方向的夹角满足 ,则
( 1 分 )
设析运动到最低点位置时第二个小球正好下落到这一高度,则第二个小球下落用时 ( 1 分 )
由此可以求出两者不发生碰撞时,第二个小球的最小抛出速度为 ( 1 分 )
( 3 )第一个小球下落到平板用时 ( 1 分 )
碰撞后平板从原平衡位置压缩到最低位置用时 ( 1 分 )
设两球抛出的时间相差 ,则
( 1 分 )
考虑到板往复一次用时 ,第二个小球抛出时间可以是振子系统运动时间大于一个周期后,则两小球抛出的时间差为
( n 取非负整数) ( 2 分 )
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